Question

【题目】如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？

（2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；

（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OA⊥OP；（3）当P点在B点右侧时， y=；当P点在B点左侧时， y=；当x=2时，y有最大值为2．

【解析】

试题分析：（1）四边形APQD为平行四边形；

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，在△AOB和△OPQ中，∵AB=PQ，∠ABO=∠PQO，BO=QO，∴△AOB≌△OPQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠PQO，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；

（3）如图，过O作OE⊥BC于E．

①如图1，当P点在B点右侧时，则BQ=x+2，OE=，∴y=×x=，即，又∵0≤x≤2，∴当x=2时，y有最大值为2；

②如图2，当P点在B点左侧时，则BQ=2﹣x，OE=，∴y=×x=，即，又∵0≤x≤2，∴当x=1时，y有最大值为；

综上所述，当P点在B点右侧时， y=；当P点在B点左侧时， y=；

∴当x=2时，y有最大值为2；