Question

【题目】已知二次函数y=2x2+bx﹣1．

（1）求证：无论b取什么值，二次函数y=2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点．

（2）若两点P（﹣3，m）和Q（1，m）在该函数图象上．

①求b、m的值；

②将二次函数图象向上平移多少单位长度后，得到的函数图象与x轴只有一个公共点？

Answer 1

【答案】（1）无论b取什么值，二次函数y=2x2+bx﹣1图象与x轴必有两个交点．

（2）b=4，m=5；（3）二次函数图象向上平移3个单位

【解析】

试题分析：（1）先计算判别式的值，再利用非负数的性质可判断△=＞0，然后根据判别式的意义可判断抛物线与x轴必有两个交点；

（2）①先利用抛物线的对称性可确定抛物线的对称轴方程，从而可求出b的值，然后计算自变量为1所对应的函数值即可得到m的值；

②设平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x﹣1+k，根据判别式的意义△=0得到关于k的方程，然后解方程求出k的值即可判断抛物线平移的距离．

试题解析：（1）证明：∵△=b2﹣4×2×（﹣1）=b2+8＞0，

∴无论b取何值时，二次函数y=2x2+b x﹣1图象与x轴必有两个交点；

（2）解：①∵点P、Q是二次函数y=2x2+bx﹣1图象上的两点，且两点纵坐标都为m

∴点P、Q关于抛物线对称轴对称，

∴抛物线对称轴是直线x=﹣1，

∴，解得b=4，

∴抛物线解析式为y=2x2+4x﹣1，

当x=1时，m=2×12+4×1﹣1=5；

②设平移后抛物线的关系式为y=2x2+4x﹣1+k，

∵平移后的图象与x轴仅有一个交点，

∴△=16+8﹣8 k=0，解得k=3，

即将二次函数图象向上平移3个单位时，函数图象与x轴仅有一个公共点．