Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）求证：AE＝DF；

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当t＝10时，AEFD是菱形；（3）当t＝时，△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，根据已知条件求得∠C＝30°，由题意可知CD＝4tcm，AE＝2tcm；在直角△CDF中，根据30°角直角三角形的性质可得DF＝CD＝2tcm，由此即可证得DF＝AE；（2）由DF∥AB，DF＝AE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形AEFD是平行四边形，当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，即可得60﹣4t＝2t，解得t＝10，即当t＝10时，AEFD是菱形；（2）能，分∠EDF＝90°和∠DEF＝90°两种情况求t的值即可．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，

∴∠C＝90°﹣∠A＝30°．

由题意可知，CD＝4tcm，AE＝2tcm，

又∵在直角△CDF中，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝2tcm，

∴DF＝AE；

（2）∵DF∥AB，DF＝AE，

∴四边形AEFD是平行四边形，

当AD＝AE时，四边形AEFD是菱形，

即60﹣4t＝2t，

解得：t＝10，

即当t＝10时，AEFD是菱形；

（3）当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．

理由如下：

当∠EDF＝90°时，DE∥BC．

∴∠ADE＝∠C＝30°

∴AD＝2AE

∵CD＝4tcm，

∴DF＝AE＝2tcm，

∴AD＝2AE＝4tcm，

∴4t+4t＝60，

∴t＝时，∠EDF＝90°．

当∠DEF＝90°时，DE⊥EF，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴AD∥EF，

∴DE⊥AD，

∴△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠DEA＝30°，

∴AD＝AE，

AD＝AC﹣CD＝60﹣4t（cm），AE＝DF＝CD＝tcm，

∴60﹣4t＝t，

解得t＝12．

综上所述，当t＝时△DEF是直角三角形（∠EDF＝90°）；当t＝12时，△DEF是直角三角形（∠DEF＝90°）．