Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x=2分别交于点D、E．

（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；

（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；

（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）P的坐标为（3+， ）或（3﹣， ）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，设抛物线的解析式，由题意可知函数过（0,0）,A(0,4)，

B（-2,3），解方程组.

(2) ①过点E作EH∥x轴，交y轴于H，利用勾股定理求CB的长度，求直线BE与对称轴的交点，得到 CE.

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，证明DFB≌△DHE（SAS）, ∴BD=DE，即D是BE的中点.

(3)BE垂直平分线上的点，到B,E距离相等，所以直线CD与抛物线的交点，就是P点.

试题解析：

（1）解：∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上，∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=3，∴B（﹣2，3），

∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，

∴点A的坐标为（4，0），设所求的抛物线对应函数关系式为y=a（x﹣0）（x﹣4），将点B（﹣2，3）代入上式，得3=a（﹣2﹣0）（﹣2﹣4），

∴a=，∴所求的抛物线对应的函数关系式为y=x（x﹣4），即y=x2﹣x；

（2）证明：①直线y=﹣2x﹣1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D（0，﹣1），E（2，﹣5），过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，

则BG⊥直线x=2，BG=4,

在Rt△BGC中， ，∵CE=5，

∴CB=CE=5．

②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为,

H（0，﹣5），又点F、D的坐标为F（0，3）、D（0，﹣1），

∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°，

∴△DFB≌△DHE（SAS），∴BD=DE，即D是BE的中点；

（3）解：存在．由于PB=PE，∴点P在直线CD上，

∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，将D（0，﹣1），C（2，0）代入，得，解得k=，b=﹣1，

∴直线CD对应的函数关系式为y=x﹣1，

∵动点P的坐标为（x， x2﹣x），

∴x﹣1=x2﹣x，解得x1=3+，x2=3﹣．

∴y1=，y2=，

∴符合条件的点P的坐标为（3+， ）或（3﹣， ）．