Question

【题目】如图①，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.

(1)求C点的坐标；

(2)如图②，OA＝2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP－DE的值．

Answer 1

【答案】（1）点C的坐标为(－6，－2)；（2）OP－DE＝2.

【解析】（1）如图1，过C作CM⊥x轴于M点，则可以求出△MAC≌△OBA，可得CM=OA=2，MA=OB=4，故点C的坐标为（-6，-2）．
（2）如图2，过D作DQ⊥OP于Q点，则DE=OQ利用三角形全等的判定定理可得△AOP≌△PQD（AAS）进一步可得PQ=OA=2，即OP-DE=2．

(1)如图①，过C作CM⊥x轴于M点，

则∠CMA＝90°.

∵△ABC为等腰直角三角形，且∠AOB＝90°，

∴∠BAC＝90°，AC＝BA，

∴∠MAC＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠OBA＝90°，则∠MAC＝∠OBA.

在△MAC和△OBA中，

∠CMA＝∠AOB，∠MAC＝∠OBA，AC=BA，

∴△MAC≌△OBA(AAS)，

∴CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，

∴OM＝OA＋AM＝2＋4＝6，

∴点C的坐标为(－6，－2)．

(2)如图②，过D作DQ⊥OP于Q点，

则∠PQD＝90°，DE＝OQ，

∴OP－DE＝OP－OQ＝PQ.

∵△APD为等腰直角三角形，且∠AOP＝90°，

∴∠APD＝90°，AP＝PD，∴∠APO＋∠QPD＝90°，∠APO＋∠OAP＝90°，

∴∠QPD＝∠OAP.

在△AOP和△PQD中，

∠AOP=∠PQD，∠QPD＝∠OAP，AP=PD，

∴△AOP≌△PQD(AAS)．

∴PQ＝OA＝2.即OP－DE＝2.