Question

【题目】已知：点A、C、B不在同一条直线上，AD∥BE
（1）如图①，当∠A=58°，∠B=118°时，求∠C的度数；

（2）如图②，AQ、BQ分别为∠DAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AQB的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下，且有AC∥QB，QP⊥PB，直接写出∠DAC：∠ACB：∠CBE的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF=∠A，∠BCF=180°﹣∠B，

∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°﹣（∠B﹣∠A）=120°．

（2）解：在图②中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM=∠NAD，∠BQM=∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD= ∠CAD，∠EBQ= ∠CBE，

∴∠AQB=∠BQM﹣∠AQM= （∠CBE﹣∠CAD）．

∵∠C=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=180°﹣2∠AQB，

∴2∠AQB+∠C=180°．

（3）解：∵AC∥QB，

∴∠AQB=∠CAP= ∠CAD，∠ACP=∠PBQ= ∠CBE，

∴∠ACB=180°﹣∠ACP=180°﹣ ∠CBE．

∵2∠AQB+∠ACB=180°，

∴∠CAD= ∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP+∠ACP=90°，即∠CAD+∠CBE=180°，

∴∠CAD=60°，∠CBE=120°，

∴∠ACB=180°﹣（∠CBE﹣∠CAD）=120°，

∴∠DAC：∠ACB：∠CBE=60°：120°：120°=1：2：2．

【解析】（1）过点C作CF∥AD，依据平行公理的推论可知CF∥BE，接下来，根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B，将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数；
（2）过点Q作QM∥AD，依据平行公理的推论可知QM∥BE，接下来，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=（∠CBE-∠CAD），结合（1）的结论可得出2∠AQB+∠C=180°；
（3）由（2）的结论可得出∠CAD=∠CBE①，由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②，联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数，再结合（1）的结论可得出∠ACB的度数，将其代入∠DAC：∠ACB：∠CBE中可求出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平行线的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．