Question

【题目】【问题提出】

如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF

试证明：AB=DB+AF

【类比探究】

（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由

（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．

Answer 1

【答案】证明见解析；（1）AB=BD﹣AF；（2）AF=AB+BD．

【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质得出△EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF，∠EBD=∠EAF=120°，得出△EDB≌FEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论．（2）先画出图形证明∴△DEB≌△EFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可．

试题解析：（1）证明：DE=CE=CF，△BCE

由旋转60°得△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF=CE，

∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，

∵∠DBE=120°，

∴∠EAF=∠DBE，

又∵A，E，C，F四点共圆，

∴∠AEF=∠ACF，

又∵ED=DC，

∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，

∴∠D=∠AEF，

∴△EDB≌FEA，

∴BD=AF，AB=AE+BF，

∴AB=BD+AF．

类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，

∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，

∴△CEF是等边三角形，

∴EF=CE，

∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，

∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，

∴∠FCG=∠FEA，

又∠FCG=∠EAD

∠D=∠EAD，

∴∠D=∠FEA，

由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，

∴∠DBE=∠FAE=60°

∴△DEB≌△EFA，

∴BD=AE， EB=AF，

∴BD=FA+AB．

即AB=BD-AF．

（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）