Question

【题目】如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P.

(Ⅰ)依题意补全图形.

(Ⅱ)若∠ACN＝α，求∠BDC的大小(用含α的式子表示).

(Ⅲ)若PA＝x，PC＝y，求PB的长度(用x，y的代数式表示).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)补图见解析；(Ⅱ)∠BDC＝60°﹣α；(Ⅲ)PB= x+y.

【解析】

(Ⅰ)根据题意画图即可；

(Ⅱ)根据对称得：CN是AD的垂直平分线，则CA＝CD，然后根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质可得结论；

(Ⅲ)作辅助线，在PB上截取PF使PF＝PC，连接CF，PA.先证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△APC，则BF＝PA，由此即可解决问题.

解：(Ⅰ)如图，

(Ⅱ) ∵点A与点D关于CN对称，

∴CN是AD的垂直平分线，

∴CA＝CD，∠DCN=∠ACN＝α,

∴∠ACD＝2∠ACN＝2α.

∵等边△ABC，

∴CA＝CB，

∴CD＝CB，

∴∠BDC＝∠DBC.

∵∠ACB＝60°.

∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α.

∴∠BDC＝∠DBC＝(180°﹣∠BCD)＝60°﹣α.

(Ⅲ)在PB上截取PF使PF＝PC，连接CF，PA

设∠ACN＝α，

∵CA＝CD，∠ACD＝2α，

∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α.

∵∠BDC＝60°﹣α，

∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，

∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°.

∴△CPF是等边三角形.

∴CF＝CP，∠PCF＝60°，

∵∠PCF＝∠ACB，

∴∠BCF＝∠ACP，

∵CB＝CA，CF＝CP，

∴△BFC≌△APC(SAS)，

∴BF＝PA，

∴PB＝PF+BF＝PA+PC＝x+y.