Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．

（1）若直线AB与有两个交点F、G．

①求∠CFE的度数；

②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；

（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）4≤b＜5；（3）存在 P（， ）．

【解析】试题分析：（1）①∠EOC和∠EFC是所对的圆心角和圆周角，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可；

②过O作OM⊥FG于点M，连接OF，先求出一次函数图像与x轴、y轴交点A、B的坐标，然后根据勾股定理求出AB的长，进而利用面积法求出OM的长，再利用勾股定理表示出FM2，再由垂径定理得FG＝2FM，进而可以表示出FG2，再根据式子写出b的范围；

（2）根据前面结论OM＝，当b＞5时，直线与圆相离，当b＝5时，直线与圆相切，连接OP，根据两直线垂直时比例系数的积为－1求出OP的解析式，然后联立两个解析式即可求出点P的坐标．

试题解析：

解：（1）①∵∠COE＝90°，

∴∠CFE＝∠COE＝45°；

②如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵直线的函数式为：y＝，

∴B的坐标为（0，b），A的坐标为（，0），

∴AB＝

＝，

在Rt△OBC中，由面积法可得

OA·OB＝AB·OM，

易得：OM＝，

∵OF＝4，

∴FM2＝OF2﹣OM2＝42﹣（）2 ，

∵OM⊥FG，

∴FG＝2FM，

∴FG2＝4FM2＝4×[42﹣（）2 ]＝64﹣b2，

∵直线AB与有两个交点F、G．

∴4≤b＜5；

（2）存在．

如图，

当b＞5时，OM＝＞4，∴直线与圆相离，∠CPE＜45°；

当b＝5时，OM＝＝4，∴直线与圆相切，

∵DE是直径，

∴∠DCE＝90°，

∵CO⊥DE，且DO＝EO，

∴∠ODC＝∠OEC＝45°，

∴∠CPE＝∠ODC＝45°，

∴存在点P，使∠CPE＝45°，

连接OP，

∵P是切点，∴OP⊥AB，∴OP所在的直线为：y＝，

又∵AB所在的直线为：y＝＋5，

解得

∴P（ ， ）．