Question

【题目】如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD边上一点，连接CE，把△CDE沿CE翻折，得到△CPE，EP交AC于点F，CP交BD于点G，连接PO，若PO∥BC，则四边形OFPG的面积是 ．

Answer 1

【答案】8﹣4
【解析】解：如图所示，过P作PM⊥AO于M，作PN⊥BO于N，延长PO交CD于H，

∵PO∥BC，BC⊥CD，

∴PH⊥CD，

又∵△CDO是等腰直角三角形，

∴OH= CD=2=CH，OH平分∠COD，

由折叠可得，CP=CD=4，

∴Rt△PCH中，PH= =2 ，

∴PO=PH﹣OH=2 ﹣2，

∵PO平分∠AOB，PM⊥AO，PN⊥BO，

∴PM=PN，

矩形PMON是正方形，

∴正方形PMON的面积= OP2= （2 ﹣2）2=8﹣4 ，

∵∠FPG=∠MON=90°，

∴∠FPM=∠GPN，

在△PMF和△PNG中，

，

∴△PMF≌△PNG（ASA），

∴S△PMF=S△PNG，

∴S四边形OFPG=S正方形PMON，

∴四边形OFPG的面积是8﹣4 ，

故答案为：8﹣4 ．

通过做辅助线过P作PM⊥AO于M，作PN⊥BO于N，延长PO交CD于H，又因△CDO是等腰直角三角形，可得OH=2=CH，OH平分∠COD，由折叠的性质可得，CP=CD=4，有勾股定理可得PH =2 ，PO=PH﹣OH=2 ﹣2，得到正方形PMON的面积，得到△PMF≌△PNG（ASA），得到S△PMF=S△PNG，S四边形OFPG=S正方形PMON，求出四边形OFPG的面积是8﹣4 .