Question

【题目】点O为直线AB上一点，在直线AB上侧任作一个∠COD，使得∠COD=90°．

（1）如图1，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOD的角平分线时，请直接写出∠BOD与∠COE之间的倍数关系，即∠BOD= ______ ∠COE（填一个数字）；

（2）如图2，过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的角平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度数；

（3）在（2）的条件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度数．

Answer 1

【答案】(1)2;(2) 135°；(3)67.5°.

【解析】试题分析：

（1）由题意可得∠AOC=90°-∠BOD；∠AOE=∠AOD；∠AOD=180°-∠BOD；把上述三个关系式代入∠COE=∠AOE-∠AOC中化简即可得到∠COE=∠BOD，从而可得出∠BOD=2∠COE；

（2）由OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD可得：∠AOC=∠COE，∠DOF=∠COF=45°；结合∠BOD+∠AOC=90°，∠EOC+∠FOB=∠EOC+∠FOD+∠BOD即可求得∠EOC+∠FOB的度数；

（3）如备用图，设∠EOF= ，则∠EOC=，结合（2）可得∠AOE=2∠EOC=，∠COF==45°，由此即可解得∠AOE=67.5°.

试题解析：

（1）∠BOD=2∠COE；理由如下：

∵∠COD=90°．

∴∠BOD+∠AOC=90°，

∵OE平分∠AOD，

∴∠AOE=∠DOE=∠AOD，

又∵∠BOD=180°-∠AOD，

∴∠COE=∠AOE-∠AOC=∠AOD-（90°-∠BOD）=（180°-∠BOD）-90°+∠BOD=∠BOD，

∴∠BOD=2∠COE；

（2）∵OC为∠AOE的角平分线，OF平分∠COD，

∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，

∴∠FOB+∠EOC=∠DOF+∠BOD+∠AOC=45°+90°=135°；

（3）如备用图：∵∠EOC=3∠EOF，

∴设∠EOF=x，则∠EOC=3x，

∴∠COF=4x，

∴结合（2）可得：∠AOE=2∠COE=6x，∠COF=4x=45°，

解得：x=11.25°，

∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．