Question

【题目】如图，在ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵在ABCD中，AB=CD，

∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．

又∵BE=EC= BC，AF=DF= AD，

∴BE=DF．

∴△ABE≌△CDF．

（2）解：∵四边形AECF为菱形，

∴AE=EC．

又∵点E是边BC的中点，

∴BE=EC，即BE=AE．

又BC=2AB=4，

∴AB= BC=BE，

∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，

ABCD的BC边上的高为2×sin60°= ，

∴菱形AECF的面积为2 ．

【解析】（1）在ABCD中，AB=CD，得到BC=AD，∠ABC=∠CDA，又因为BE=EC= BC÷2，AF=DF= AD÷2，得到BE=DF，得到△ABE≌△CDF；（2）由四边形AECF为菱形，得到AE=EC，得到AE=EC，又点E是边BC的中点，得到BE=EC，即BE=AE，又BC=2AB=4，得到AB=BE，得到AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，所以ABCD的BC边上的高为2×sin60°= ，菱形AECF的面积为2 ．