Question

【题目】如图1，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，点D在CA的延长线上，DE⊥BC，垂足为点E，DE与⊙O相交于点H，与AB相交于点l，过点A作⊙O的切线AF，与DE相交于点F．

（1）求证：∠DAF=∠ABO；

（2）当AB=AD时，求证：BC=2AF；

（3）如图2，在（2）的条件下，延长FA，BC相交于点G，若tan∠DAF=，EH=2，求线段CG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）连接AO，如图1，由OA=OB可得∠OAB=∠OBA，要证∠DAF=∠ABO，只需证∠DAF=∠BAO，只需证∠FAO=∠DAB=90°即可；

（2）由于BC=2OA，要证BC=2AF，只需证OA=AF，只需证△AFD≌△AOB即可；

（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2，易得BE=2IE，DE=2EC，DI=2AF=BC，从而可得EC=3IE=BE．设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．在Rt△HEO中运用勾股定理可求出x．利用三角函数可得BN=2AN=4NC，则有BC=5NC=10，从而可求出NC、ON，易证△AON∽△GOA，根据相似三角形的性质可求出OG，从而可求出CG．

试题解析：（1）连接AO，如图1．

∵AF与⊙O相切于点A，

∴OA⊥AF，即∠FAO=90°．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∴∠DAB=90°，

∴∠FAO=∠DAB=90°，

∴∠DAF=∠BAO．

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∴∠DAF=∠ABO；

（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°，

∴∠DIB=90°+∠ABO．

∵∠DIB=90°+∠D，

∴∠D=∠ABO．

在△AFD和△AOB中，

，

∴△AFD≌△AOB，

∴AF=AO，

∴BC=2OA=2AF；

（3）过点A作AN⊥BC于N，连接OH，OA，如图2．

∵∠D=∠B=∠BAO=∠DAF，tan∠DAF=，

∴tanB=，tanD=，

∴BE=2IE，DE=2EC．

又∵∠DIA+∠D=∠DAF+∠FAI=90°，

∴∠FIA=∠FAI，

∴FI=FA，

∴DI=2AF=BC，

∴DE﹣IE=BE+EC，

∴2EC﹣IE=2IE+EC，

∴EC=3IE=BE．

设BE=2x，则有EC=3x，BC=5x，HO=BO=，EO=．

在Rt△HEO中，根据勾股定理可得

（）2+（2）2=（）2，

解得x=2（舍负）．

∵AN⊥BC，∠BAC=90°，

∴∠NAC=∠ABC，

∴tan∠NAC=，tan∠ABC=，

∴BN=2AN=4NC，

∴BC=5NC=10，

∴NC=2，ON=5﹣2=3．

∵∠AON=∠GOA，∠ANO=∠OAG=90°，

∴△AON∽△GOA，

∴，

∴，

∴OG=，

∴CG=OG﹣OC=．