Question

【题目】下面我们做一次折叠活动：

第一步，在一张宽为2的矩形纸片的一端，利用图（1）的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，折痕为MC；
第二步，如图（2），把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，折痕为FA；
第三步，折出内侧矩形FACB的对角线AB，并将AB折到图（3）中所示的AD处，折痕为AQ．
根据以上的操作过程，完成下列问题：
（1）求CD的长．
（2）请判断四边形ABQD的形状，并说明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠M=∠N=∠MBC=90°，

∴四边形MNCB是矩形，

∵MB=MN=2，

∴矩形MNCB是正方形，

∴NC=CB=2，

由折叠得：AN=AC= NC=1，

Rt△ACB中，由勾股定理得：AB= = ，

∴AD=AB= ，

∴CD=AD﹣AC= ﹣1；

（2）解：四边形ABQD是菱形，理由是：

由折叠得：AB=AD，∠BAQ=∠QAD，

∵BQ∥AD，

∴∠BQA=∠QAD，

∴∠BAQ=∠BQA，

∴AB=BQ，

∴BQ=AD，BQ∥AD，

∴四边形ABQD是平行四边形，

∵AB=AD，

∴四边形ABQD是菱形．

【解析】（1）首先证明四边形MNCB为正方形，然后再依据折叠的性质得到：CA=1，AB=AD，最后再依据CD=AD-AC求解即可；
（2）根据平行线的性质和折叠的性质可得到∠BAQ=∠BQA，然后依据等角对等边的性质得到AB=BQ，接下来，依据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证明四边形ABQD是平行四边形，再由AB=AD，可得四边形ABQD是菱形.