Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
（1）填空：点A坐标为；抛物线的解析式为 ．
（2）在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？

（3）在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）（1，4）；y=﹣（x﹣1）2+4
（2）

解：依题意有：OC=3，OE=4，

∴CE= = =5，

当∠QPC=90°时，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ；

当∠PQC=90°时，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ．

∴当t= 或t= 时，△PCQ为直角三角形；

（3）

解：∵A（1，4），C（3，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b，则 ，解得 ．

故直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+ ，

∴Q点的横坐标为1+ ，

将x=1+ 代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣ ．

∴Q点的纵坐标为4﹣ ，

∴QF=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ

= FQAG+ FQDG

= FQ（AG+DG）

= FQAD

= ×2（t﹣ ）

=﹣ +t

=﹣ （t2+4﹣4t﹣4）

=﹣ （t﹣2）2+1，

∴当t=2时，△ACQ的面积最大，最大值是1．

【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4），点A在DE上，
∴点A坐标为（1，4），
设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，
把C（3，0）代入抛物线的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，
解得a=﹣1．
故抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（1）根据抛物线的对称轴与矩形的性质可得点A坐标，根据待定系数法可得抛物线的解析式；（2）先根据勾股定理可得CE，再分两种情况：当∠QPC=90°时；当∠PQC=90°时；讨论可得△PCQ为直角三角形时t的值；（3）根据待定系数法可得直线AC的解析式，根据S△ACQ=S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ=﹣ （t﹣2）2+1，依此即可求解．