Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣x+3（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=﹣2．
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）若点P（0，t）是y轴上的一个动点，请进行如下探究： 探究一：如图1，设△PAD的面积为S，令W=tS，当0＜t＜4时，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此时t的值；如果没有，说明理由；

探究二：如图2，是否存在以P、A、D为顶点的三角形与Rt△AOC相似？如果存在，求点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（参考资料：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴是直线x= ）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵抛物线y=ax2﹣x+3（a≠0）的对称轴为直线x=﹣2．

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∴D（﹣2，4）

（2）解：探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．

∵抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，

∴A（﹣6，0），B（2，0），C（0，3），

∴OA=6，OC=3．

当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，

则DM=2，OM=4．

∵P（0，t），

∴OP=t，MP=OM﹣OP=4﹣t．

∵S三角形PAD=S梯形OADM﹣S三角形AOP﹣S三角形DMP

=

=

=12﹣2t

∴W=t（12﹣2t）=﹣2（t﹣3）2+18

∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18．

探究二：

存在．分三种情况：

①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，

则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，

∴AE=OA﹣OE=6﹣2=4=DE．

∴∠DAE=∠ADE=45°， ，

∴∠P1DE=∠P1DA﹣∠ADE=90°﹣45°=45度．

∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，

∴DM∥OA，

∴∠MDE=∠DEA=90°，

∴∠MDP1=∠MDE﹣∠P1DE=90°﹣45°=45度．

∴P1M=DM=2， ．

此时 ，

又因为∠AOC=∠P1DA=90°，

∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，

∴OP1=OM﹣P1M=4﹣2=2，

∴P1（0，2）．

∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，

此时P1点的坐标为（0，2）

②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．

③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径 ，

圆心O1到y轴的距离d=4．

∵d＞r，

∴⊙O1与y轴相离．

不存在点P3，使∠AP3D=90度．

∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．

【解析】（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM﹣SAOP﹣SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．