Question

【题目】把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，……如此重复下去，若最终结果为1，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：

，

所以32和70都是“快乐数”．

（1）最小的两位“快乐数”是 ；

（2）证明19是“快乐数”；

（3）若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为1，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，求出这个“快乐数” ．

Answer 1

【答案】（1）最小的两位“快乐数”是10；

（2）证明见解析；

（3）310和860满足已知条件.

【解析】试题分析：（1）根据快乐数的定义即刻得到结论；
（2）由19经过两次运算后结果为1，于是得到结论；
（3）设三位“快乐数”为abc，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以a2+b2+c2=10或100即可得出结论.

试题解析：(1)最小的两位“快乐数”是10.

(2)因为，

所以19是快乐数.

（3）设三位“快乐数”为 abc ，由题意，经过两次运算后结果为1，所以第一次运算后结果一定是10或者100，所以a2+b2+c2=10 或100,

又因为a、b、c为整数，且a≠0 ，所以当 a2+b2+c2=10 时，

因为 12+32+02=10

当a=1，b=3或0，三位“快乐数”为130，103，

当a=3时，b=1或0，c=0或1，三位“快乐数”为310，301

同理当a2+b2+c2=10 0时，因为62+82+02=100， 所以三位“快乐数”有680，608，806，860.

综上一共有130,103,310,301，680，608，806，860八个.又因为三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是2，所以只有310和860满足已知条件.