Question

【题目】已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=4cm，BC=3cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀

逨运动，速度为1cm/s，过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）

（0＜t＜4）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，四边形PQAM是矩形？

（2）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM=S矩形ABCD？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

（3）当t为何值时，△APQ与△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）当t为2时，四边形PQAM是矩形．

（2）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．

（3）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．

【解析】

试题分析：（1）首先根据四边形ABCD是矩形，求出AC的长度是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△APQ∽△ACB，即可推得，据此求出t的值是多少即可．

（2）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．首先根据四边形ABCD是矩形，求出S矩形ABCD的值是多少；然后分别求出△APM、△APQ的面积各是多少，再根据S四边形PQAM=S矩形ABCD，求出t的值是多少即可．

（3）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．根据题意，分两种情况讨论：①当∠AQP=90°时，△APQ与△ABC相似；②当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似；求出当t为何值时，△APQ与△ABC相似即可．

解：（1）如图1，，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC===5，

∵四边形PQAM是矩形，

∴PQ⊥AB，

又∵CB⊥AB，

∴PQ∥CB，

∴△APQ∽△ACB，

∴，

即，

解得t=2，

∴当t为2时，四边形PQAM是矩形．

（2）存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．

如图2，，

∵四边形ABCD是矩形，

∴S矩形ABCD=ABBC=4×3=12，

∵PM⊥AD，CD⊥AD，

∴PM∥CD，

∴△APM∽△ACD，

∴，

即，

解得AM=，PM=t，

∴S△APM=AMPM=×=t2．

∵sin∠PAQ==，

∴S△APQ=APAQsin∠PAQ=t（4﹣t）×=t（4﹣t），

∵S四边形PQAM=S矩形ABCD，

∴t2+t（4﹣t）=×，

整理，可得

t2﹣20t+36=0

解得t=2或t=18（舍去），

∴存在t=2，使S四边形PQAM=S矩形ABCD．

（3）当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．

①由（1），可得

当t=2时，∠AQP=90°，PQ∥CB，△APQ与△ABC相似．

②如图3，，

当∠APQ=90°时，△APQ与△ABC相似，

∵tan∠PAQ==，

∴，

即，

∴PQ=t，

∵BQ=t，

∴AQ=4﹣t，

在Rt△APQ中，

∵AP2+PQ2=AQ2，

∴，

解得t=1或t=﹣16（舍去）．

综上，可得

当t=2或1时，△APQ与△ABC相似．