Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+x+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC、BC．

（1）求交点A、B的坐标以及直线BC的解析式；

（2）如图1，动点P从点B出发以每秒5个单位的速度向点O运动，过点P作y轴的平行线交线段BC于点M，交抛物线于点N，过点N作NC⊥BC交BC于点K，当△MNK与△MPB的面积比为1：2时，求动点P的运动时间t的值；

（3）如图2，动点P 从点B出发以每秒5个单位的速度向点A运动，同时另一个动点Q从点A出发沿AC以相同速度向终点C运动，且P、Q同时停止，分别以PQ、BP为边在x轴上方作正方形PQEF和正方形BPGH（正方形顶点按顺时针顺序），当正方形PQEF和正方形BPGH重叠部分是一个轴对称图形时，请求出此时轴对称图形的面积．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+4（2）PB=1，t=（3）①②

【解析】试题分析：（1）令y=0，解方程﹣x2+x+4=0，即可求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线BC．

（2）如图1中，设P（a，0），只要证明MN=PB，列出方程即可解决问题．

（3）①如图2中，当轴对称图形为筝型时，列出方程求出运动时间即可，②如图3中，当轴对称图形是正方形时，列出方程求出时间即可．

试题解析：（1）令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x=4或﹣3，

∴点A坐标（﹣3，0），点B坐标（4，0），

设直线BC解析式为y=kx+b，把B（4，0）．C（0，4）代入

得，解得，

∴直线BC解析式为y=﹣x+4．

（2）如图1中，∵PN∥OC，NK⊥BC，

∴∠MPB=∠MKN=90°，

∵∠PMB=∠NMK，

∴△MNK∽△MPB，

∵△MNK与△MPB的面积比为1：2，

∴BM=MN，

∵OB=OC，

∴∠PBM=45°，

∴BM=PB，

∴MN=PB，设P（a，0），则MN=﹣a2+a+4+a﹣4=﹣a2+a，BP=4﹣a，

∴﹣a2+a=4﹣a，

解得a=3或4（舍弃），

∴PB=1，t=．

（3）如图2中，当轴对称图形为筝型时，PF=PG，GM=FM，

∵BP=PG=AQ，PQ=PF，

∴AQ=PQ=5t，

过点Q作QN⊥AP，则AN=NP，由△AQN∽△ACQ，

∴，

∴，

∴AN=3t，

∴AP=2AN=6t，

∵AP+BP=AB，

∴5t+6t=7，

∴t=，

∴PB=PF=，

由△ACO∽△FPR∽△MFT，

∴，

∴FR=，TF=，

∴，

∴FM=，

∴S=2××PF×FM=．

②如图3中，当轴对称图形是正方形时，

3t+5t=7，

∴t=，

∴S=．