Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，若AE=8，FC=6.

（1）求EF的长.

（2）求四边形BEDF的面积.

Answer 1

【答案】（1）EF的长为10；（2）S四边形BEDF=49.

【解析】

（1）首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE=FC=6，那么AB=14，则BC=14，BF=8，再根据勾股定理求出EF的长；

（2）由△EDB≌△FDC，可得S四边形BEDF= S△CDF+ S△BDF=S△BDC，再由D为AC中点，可得S△BDC=S△ABC，由此即可求得答案.

（1）连接BD，

∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，

∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，

∴∠C=45°，

∴∠ABD=∠C，

又∵DE丄DF，

∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，

∴∠FDC=∠EDB，

在△EDB与△FDC中，

，

∴△EDB≌△FDC（ASA），

∴BE=FC=6，

∴AB=AE+BE=8+6=14，则BC=14，

∴BF=BC-CF=14-6=8，

在Rt△EBF中， EF2=BE2+BF2=62+82，

∴EF=10，

答：EF的长为10；

（2）∵△EDB≌△FDC，

∴S四边形BEDF=S△BDE+S△BDF=S△CDF+ S△BDF=S△BDC，

∵D为AC中点，

∴S△BDC=S△ABC，

∵S△ABC=ABBC，AB=BC=14，

∴S△ABC==98，

∴S四边形BEDF=49.