Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴交于点A(10，0)，B(0，－10)，直线MT垂直于直线AB，垂足为M，与y轴交于点T(0，－2) ．

（1）求点M的坐标；

（2）在线段MT的延长线上找一点N，使MT＝TN，求点N的坐标；

（3）若点D在x轴上，∠ABD＝60°，E点在线段BD上运动，∠AEB的平分线交AB于点P，∠EAB的平分线交线段BD于点Q，AQ与EP交于点R． 的值是多少？

Answer 1

【答案】（1）M(4，－6)（2）N(－4，2)（3）1

【解析】试题分析：（1）M点可以看作是直线AB与直线MN的交点，要求交点坐标即要求出这两条直线的解析式，已知A、B的坐标可以求出直线AB的解析式，结合特殊角可以求出OC的长度，从而求出C的坐标，根据C、T的坐标可以求出直线MN的解析式；（2）作MG⊥y轴于点G，NH⊥y轴于点H，结合已知条件不难证明△NHT≌△MGT，进而求出NH、HO的长度，表示出N的坐标即可；（3）在AE上取一点G，使EQ＝EG ，不难证明△ERG≌△ERQ，由此可得∠EGR=∠ERQ，再由∠AEB的平分线交AB于点P，∠EAB的平分线交线段BD于点Q，∠ABD＝60°可以计算得出∠ERA=120°，进而可以得出∠ERQ=60°，所以∠GRA=∠PRA=60°，接下去不难证明△ARG≌△ARP，可以得出AP=AG，所以==1.

试题解析：

（1）∵A(10，0)，B(0，－10)，

∴AO=BO=10，

∴∠OBA=45°，

∵MN⊥AB，

∴∠TMB=90°，

∴∠BTM=∠CTO=45°，

∴CO=TO，

∵T(0，－2)，

∴CO=TO=2，

∴C（－2，0），

设y=k1x+b1，

，

∴，

∴y=－x－2，

设直线AB解析式为y2=k2x+b2，

，

∴，

∴y=x－10，

，

解得，

∴M（4，－6）；

（2）作MG⊥y轴于点G，NH⊥y轴于点H，

∴∠NHT=∠MGT=90°，

∵在△NHT和△MGT中，

，

∴△NHT≌△MGT，

∴NH=MG=4，HT=GT=4，

∴HO=2，

∴N（－4，2）；

（3）

在AE上取一点G，使EQ＝EG ，

∵PE平分∠AEB，QA平分∠EAB，

∴∠AER=∠AEB，∠EAR=∠EAB，

∴∠AER+∠EAR =（∠AEB+∠EAB），

∵∠ABD=60°，

∴∠AEB+∠EAB=120°，

∴∠AER+∠EAR=60°，

∴∠ERA=120°，

∴∠ERQ=60°，

∵PE平分∠AEB，

∴∠GER=∠QER，

∵在△GER和△QER中，

，

∴△GER≌△QER，

∴∠ERG=∠ERQ=60°，

∴∠ARG=60°，∠ARP=60°，

∵在△ARG和△ARP中，

，

∴△ARG≌△ARP，

∴AP=AG，

∴==1.