Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF.

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）已知圆的半径为1，求EF的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=2.

【解析】试题分析：(1)、先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；(2)、在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解．

试题解析：(1)、连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC， ∴四边形AOCD是菱形，

∴△OAD和△OCD都是等边三角形， ∴∠AOD=∠COD=60°， ∴∠FOB=60°， ∵EF为切线， ∴OD⊥EF，

∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中， ∴△FDO≌△FBO， ∴∠ODF=∠OBF=90°，

∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线；

(2)、在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°， 而tan∠FOB=， ∴BF=1×tan60°=． ∵∠E=30°，

∴EF=2BF=2．