Question

【题目】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．

（1）求证：∠BCP=∠BAN

（2）求证：=．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

试题分析：（1）由AC为⊙O直径，得到∠NAC+∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN=∠CAN，根据PC是⊙O的切线，得到∠ACN+∠PCB=90°，于是得到结论．

（2）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到∠PBC=∠AMN，证出△BPC∽△MNA，即可得到结论．

（1）证明：∵AC为⊙O直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠ACN=90°，

∵AB=AC，

∴∠BAN=∠CAN，

∵PC是⊙O的切线，

∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+∠PCB=90°，

∴∠BCP=∠CAN，

∴∠BCP=∠BAN；

（2）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBC+∠ABC=∠AMN+∠ACN=180°，

∴∠PBC=∠AMN，

由（1）知∠BCP=∠BAN，

∴△BPC∽△MNA，

∴．