Question

【题目】如图，正方形ABCD，AB=6，点E在边CD上，CE=2DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FCA=3.6，其中正确结论是_____．

Answer 1

【答案】①②③④⑤．

【解析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．根据同底等高的三角形的面积相等即可得到结论．

解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，

∴DE=2，EC=4，

∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，

∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，AB=AE，AG=AG，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，

∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；

设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，

在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，

∵CG2+CE2=GE2，

∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，

∴BG=3，CG=6﹣3=3

∴BG=CG，所以②正确；

∵EF=ED，GB=GF，

∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；

∵GF=GC，

∴∠GFC=∠GCF，

又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴∠AGB=∠AGF，

而∠BGF=∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，

∴∠AGB=∠GCF，

∴CF∥AG，所以④正确；

过F作FH⊥DC

∵BC⊥DH，

∴FH∥GC，

∴△EFH∽△EGC，

∴=，

EF=DE=2，GF=3，

∴EG=5，

∴△EFH∽△EGC，

∴相似比为： =，

∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6，

连接AC，

∵CF∥AG，

∴S△FCA=S△FGC=3.6，

所以⑤正确．

故正确的有①②③④⑤，

故答案为：①②③④⑤．

“点睛”本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理和正方形的性质.