Question

【题目】Rt△ ABC 中， AB=AC，点 D 为 BC 中点．∠ MDN=90°， ∠ MDN 绕点 D 旋转，DM、DN 分别与边 AB、AC 交于 E、F 两点．下列结论：① BE+CF=BC；② S△AEF ≤S△ABC；③ S四边形AEDF=ADEF；④ AD≥ EF；⑤ AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（ ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出，再由勾股定理即可得出从而判断①；设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=ax.先由三角形的面积公式得出再根据二次函数的性质即可判断②；由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为而所以，从而④错误；先得出

S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=再由得到

∴ADEF>S四边形AEDF，所以③错误；如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．

详解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，

∴，AD=BD=CD，

∵

∴

∴∠ADE=∠CDF.

在△AED与△CFD中，

∵

∴△AED≌△CFD(ASA)，

∴AE=CF，

在Rt△ABD中,

故①正确；

设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=ax.

∵，

∴当时,有最大值

又∵

∴

故②正确；

∴当时,取得最小值

∴ (等号当且仅当时成立)，

而∴

故④错误；

由①的证明知△AED≌△CFD，

∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=，

∵

∴

∴ADEF>S四边形AEDF，

故③错误；

当E.F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分.

故⑤正确。

综上所述，正确的有：①②⑤，共3个.

故选C.