Question

【题目】如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）

（1）a＝　 　，b＝　 　；

（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．

（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？

Answer 1

【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）t＝15（s）；（3）15，22.5.

【解析】

（1）依据|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，即可得到a，b的值；

（2）依据∠ABO+∠BAO＝90°，∠ABQ+∠BAM＝180°，即可得到射线AM、射线BQ第一次互相垂直的时间；

（3）分两种情况讨论，依据∠ABQ'＝∠BAM“时，BQ'∥AM“，列出方程即可得到射线AM、射线BQ互相平行时的时间．

解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，

∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，

∴a＝5，b＝1，

故答案为：5，1；

（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．

如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，

∴∠ABO+∠BAO＝90°，

∵PQ∥MN，

∴∠ABQ+∠BAM＝180°，

∴∠OBQ+∠OAM＝90°，

又∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，

∴t°+5t°＝90°，

∴t＝15（s）；

（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．

如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，

分两种情况：

①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM“＝5t°，

∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝5t﹣45°，

当∠ABQ'＝∠BAM“时，BQ'∥AM“，

此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，

解得t＝15；

②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM“＝5t°﹣90°，

∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，

∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，

当∠ABQ'＝∠BAM“时，BQ'∥AM“，

此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，

解得t＝22.5；