Question

【题目】如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD

(1) 试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由

(2) 若tan∠ADB= ，PA=AH，求BD的长

Answer 1

【答案】（1）PD与圆O相切．理由见解析；（2）25

【解析】

试题分析：（1）首先连接DO并延长交圆于点E，连接AE，由DE是直径，可得∠DAE的度数，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得PD⊥DO，即可得PD与圆O相切于点D；

（2）首先由tan∠ADB=，可设AH=3k，则DH=4k，又由PA=AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DEcos30°=25

试题解析：（1）PD与圆O相切．

理由：如图，连接DO并延长交圆于点E，连接AE，

∵DE是直径，

∴∠DAE=90°，

∴∠AED+∠ADE=90°，

∵∠PDA=∠ABD=∠AED，

∴∠PDA+∠ADE=90°，

即PD⊥DO，

∴PD与圆O相切于点D；

（2）∵tan∠ADB=

∴可设AH=3k，则DH=4k，

∵PA=AH，

∴PA=（4-3）k，

∴PH=4k，

∴在Rt△PDH中，tan∠P=，

∴∠P=30°，∠PDH=60°，

∵PD⊥DO，

∴∠BDE=90°-∠PDH=30°，

连接BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，

∴BD=DEcos30°=25