Question

【题目】D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点，O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．

（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；

（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？为什么？

（3）当OA与BC满足 时，四边形DGEF是一个矩形（直接填答案，不需证明．）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AO=BC；（3）OA⊥BC．

【解析】

试题分析：（1）首先利用三角形中位线的性质得出DE∥BC，DE=BC，同理，GF∥BC，GF=BC，即可得出DE∥GF，DE=GF即可得出四边形DGFE是平行四边形；

（2）利用（1）中所求，只要邻边再相等即可得出答案．

（3）利用（1）中所求，只要邻边相互垂直的平行四边形即为矩形．

（1）证明：∵D、E分别是边AB、AC的中点．

∴DE∥BC，DE=BC．

同理，GF∥BC，GF=BC．

∴DE∥GF，DE=GF．

∴四边形DEFG是平行四边形．

（2）解：解法一：点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上．

∵由（1）得出四边形DEFG是平行四边形，

∴点O的位置满足两个要求：AO=BC，且点O不在射线CD、射线BE上时，

可得GD=AO，GF=BC，

∴DG=GE，

∴平行四边形DEFG是菱形；

解法二：点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括射线CD、射线BE与⊙A的交点．

解法三：过点A作BC的平行线l，点O在以A为圆心，BC为半径的一个圆上，但不包括l与⊙A的两个交点．

（3）由（1）知，四边形DEFG是平行四边形．

当OA⊥BC时，DG⊥GF，

故平行四边形DGFE是矩形．

故答案是：OA⊥BC．