Question

【题目】一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．

（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ,周长为 .

（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ,周长为 .

2（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．

Answer 1

【答案】（1）重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为a2，周长为（1+）a．（2）边长为a，面积为a2，周长为2a．（3）．

【解析】解：（1）∵AM=MC=AC=a，则

∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为a2，周长为（1+）a．

（2）∵重叠部分是正方形

∴边长为a，面积为a2，周长为2a．

（3）猜想：重叠部分的面积为．

理由如下：

过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G

设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F

∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a

∴MH=MG=

又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，

∴∠HME=∠GMF，

∴Rt△MHE≌Rt△MGF

∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积

∵正方形CGMH的面积是MGMH=×=

∴阴影部分的面积是．