Question

【题目】如图，为线段上一动点(不与点重合)，在同侧分别作等边三角形和等边三角形与交于点，与交于点，与交于点，连结．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，恒成立的是______．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①由△ABC和△CDE都是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，所以∠ACD=∠BCE=120°，所以△ACD≌△BCE（SAS），从而AD=BE，故①正确；②④由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之AC=BC，易得∠ACB=∠BCQ=60°，可证△CQB≌△CPA（ASA），从而CP=CQ，再加之∠PCQ=60°，可推出△PCQ为等边三角形，易得∠PQC=60°=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②④正确；③结合△ACD≌△BCE和三角形的外角的性质，可得∠AOB=60°，故③正确．

解：①∵等边△ABC和等边△CDE，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，

∵在△ACD与△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，

故①正确；

④②∵△ACD≌△BCE，

∴∠CBE=∠DAC，

∵由∠ACB=∠DCE=60°得∠BCD=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

又∵AC=BC，

∴△CQB≌△CPA（ASA），

∴CP=CQ，

又∵∠PCQ=60°

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠PQC=60°，

∴∠PQC=60°=∠DCE

∴PQ∥AE

故②④正确；

③∵△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

又∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，

∴∠AOB=∠ACB=60°，

故③正确.

故答案为：①②③④.