Question

【题目】动手实验：利用矩形纸片(如图1)剪出一个正六边形纸片；再利用这个正六边形纸片做一个无盖的正六棱柱(棱柱底面为正六边形) ，如图2．

(1) 做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为多少？

(2) 在(1)的条件下，当矩形的长为2a时，要使无盖正六棱柱侧面积最大，正六棱柱的高为多少？并求此时矩形纸片的利用率为多少？

Answer 1

【答案】(1)、2：；(2)、

【解析】

试题分析：(1)、首先根据题意画出图形，然后分别求出矩形的长和宽与正六边形半径长的关系，得出比值；(2)、分别求出正六棱柱和矩形纸片的面积，然后得出比值.

试题解析：(1)如图所示：

由于正六边形内角和为(6﹣2)×180°＝720°，则其一角的角平分线所分的两个角同为60°；

设所需矩形的长宽分别为A、B，剪出的正六边形半径长为L，那么

A=2L，B=2Lsin60°＝L；

因此，所求长宽比为A：B＝(2L)：(L)＝2：．

做一个这样的正六棱柱所需最小的矩形纸片的长与宽的比为：2：；

(2)∵矩形的长为2a， ∴正六边形边长为a，其面积为：设高为x，S=

当x=时，S=， 此时，底面积，

∴六棱柱的面积为+=

∵矩形的面积=，

∴利用率==