Question

【题目】如图，是将抛物线y=﹣x2平移后得到的抛物线，其对称轴为x=1，与x轴的一个交点为A（﹣1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N为抛物线上一点，且BC⊥NC，求点N的坐标；
（3）点P是抛物线上一点，点Q是一次函数y= x+ 的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．

把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，

解得k=4，

则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．

∵B的坐标是（3，0），

∴OB=3，

∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．

∴∠OCB=45°，

过点N作NH⊥y轴，垂足是H．

∵∠NCB=90°，

∴∠NCH=45°，

∴NH=CH，

∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，

设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．

∴a+3=﹣a2+2a+3，

解得a=0（舍去）或a=1，

∴N的坐标是（1，4）；

（3）

解：∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，

设P（t，﹣t2+2t+3），代入y= x+ ，则﹣t2+2t+3= （t+1）+ ，

整理，得2t2﹣t=0，

解得t=0或 ．

∴﹣t2+2t+3的值为3或 ．

∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（ ， ）、（ ， ）．

【解析】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y= x+ ，即可求解．