Question

【题目】如图，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4 ，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F
（1）求证： ；
（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；
（3）设PE=x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，

∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，

∴△BCE∽△DCP，

∴

（2）

解：AC∥BD，

理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，

∴∠PCE=∠BCD，

又∵ ，

∴△PCE∽△DCB，

∴∠CBD=∠CEP=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CBD，

∴AC∥BD；

（3）

解：如图所示：

作PM⊥BD于M，

∵AC=4 ，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，

∴BE=CE=4，

∵△PCE∽△DCB，

∴ ，即 = ，

∴BD= x，

∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，

∴PM= ，

∴△PBD的面积S= BDPM= × x× = x2+2x．

【解析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，进而得出答案；
　　　　（2）首先得出△PCE∽△DCB，进而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC与BD的位置关系；
　　　　（3）首先利用相似三角形的性质表示出BD，PM的长，进而表示出△PBD的面积．此题主要考查了相似形综合、平行线的判定方法以及相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出PM的长是解题关键．