Question

【题目】（本小题满分9分）已知：关于的方程．

（1）若方程有两个相等的实数根，求的值，并求出这时的根．

（2）问：是否存在正数，使方程的两个实数根的平方和等于136；若存在，请求出满足条件的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）=1， ；（2）不存在．

【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式△=0，建立关于m的等式，由此求出m的取值．再化简方程，进而求出方程相等的两根；

（2）利用根与系数的关系，化简x12+x22=136，即（x1+x2）2﹣2x1x2=136．根据根与系数的关系即可得到关于m的方程，解得m的值，再判断m是否符合满足方程根的判别式．

试题解析：解：（1）若方程有两个相等的实数根，则有△=b2﹣4ac=（8﹣4m）2﹣16m2=64﹣64m=0，解得m=1，当m=1时，原方程为x2+4x+4=0，∴x1=x2=﹣2；

（2）不存在．

假设存在，则有x12+x22=136．

∵x1+x2=4m﹣8，x1x2=4m2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=136．

即（4m﹣8）2﹣2×4m2=136，∴m2﹣8m﹣9=0，（m﹣9）（m+1）=0，∴m1=9，m2=﹣1．

∵△=（8﹣4m）2﹣16m2=64﹣64m≥0，∴0＜m≤1，∴m1=9，m2=﹣1都不符合题意，∴不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于136．