Question

【题目】如图，E为等腰直角△ABC的边AB上的一点，要使AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB＋PE的最小值为____________．

Answer 1

【答案】5

【解析】试题分析：作点B关于AC的对称点F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF的长即可，因此要先求AF的长，证明△ADF≌△CDB，可以解决这个问题，从而得出EF=5，则PB+PE的最小值为5．

解：如图，过B作BD⊥AC，垂足为D，并截取DF=BD，连接EF交AC于P，连接PB、AF，则此时PB+PE的值最小，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=CB,∠ABC=90°，AD=DC，

∴∠BAC=∠C=45°，

∵∠ADF=∠CDB，

∴△ADF≌△CDB，

∴AF=BC,∠FAD=∠C=45°，

∵AE=3，BE=1，

∴AB=BC=4，

∴AF=4，

∵∠BAF=∠BAC+∠FAD=45°+45°=90°,

∴由勾股定理得：EF===5，

∵AC是BF的垂直平分线，

∴BP=PF，

∴PB+PE=PF+PE=EF=5，

故答案为：5.