Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边 PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）．现给出以下四个结论：
（1.）AE=CF；
（2.）△EPF是等腰直角三角形；
（3.）S四边形AEPF= S△ABC；
（4.）EF=AP．
上述结论中始终正确的结论有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点， ∴∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP=PC=PB，∠APC=∠EPF=90°，
∴∠EPF﹣∠APF=∠APC﹣∠APF，
∴∠APE=∠CPF，
在△APE和△CPF中 ，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，EP=PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，∴①正确；②正确；
∵△APE≌△CPF
∴SAPE=S△CPF ，
∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC= S△ABC ， ∴③正确；
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP= BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故④错误；
即正确的有3个，
故选C．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°才能正确解答此题．