Question

【题目】已知圆C：（x﹣1）2+y2= ，一动圆与直线x=﹣ 相切且与圆C外切． （Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹T的方程；
（Ⅱ）若经过定点Q（6，0）的直线l与曲线T相交于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交于点N，试问是否存在直线l，使得NA⊥NB，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设P（x，y），则由题意，|PC|﹣（x+ ）= ， ∴ =x+1，
化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y2=4x；
（Ⅱ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由题意，设直线l的方程为x=my+6，联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣24=0，
∴y1+y2=4m，y1y2=﹣24①，
∴x1+x2=4m2+12②，x1x2=36③
假设存在N（x0 ， y0），使得NA⊥NB，则y0= =2m④，
∴x0=m2⑤，
∵ =0，
∴代入化简可得（m2+6）（3m2﹣2）=0，
∴m= ，
∴存在直线l：x= y+6，使得NA⊥NB
【解析】（Ⅰ）利用直接法，求动圆圆心P的轨迹T的方程；（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为x=my+6，联立抛物线方程，利用 =0，代入化简可得（m2+6）（3m2﹣2）=0，即可得出结论．