Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为 ．

Answer 1

【答案】2 或2 或2
【解析】解：当∠APB=90°时（如图1），
∵AO=BO，
∴PO=BO，
∵∠AOC=60°，
∴∠BOP=60°，
∴△BOP为等边三角形，
∵AB=BC=4，
∴AP=ABsin60°=4× =2 ；
当∠ABP=90°时（如图2），

∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴∠BPO=30°，
∴BP= = =2 ，
在直角三角形ABP中，
AP= =2 ，
情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，

∴PO=AO，
∵∠AOC=60°，
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=AO=2，
故答案为：2 或2 或2．
利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用锐角三角函数可得AP的长；易得BP，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．