Question

【题目】如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．

探究：在下面两种条件下，线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

①AN=NC（如图②）；　　②DM//AC（如图③）．

思考：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

Answer 1

【答案】(1)MN=NC+BM，证明见解析

（2）MN=NC-BM，证明见解析

【解析】

本题是一个典型的“半角旋转”模型。①和②情况其实是一样的，延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC；

思考题：MN=NC-BM．仿（1）的思路运用截长法证明．

（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM，连接DE，如图所示：

∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°．
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°．
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN．
又NE=NC+CE，BM=CE，
∴MN=BM+NC；
（2）MN=NC-BM．
证明：在CA上截取CE=BM．
由（1）知：∠DCE=∠DBM=90°，DC=DB．
又CE=BM，
∴△DCE≌△DBM （SAS）
∴∠CDE=∠BDM，DM=DE．
∴∠MDN=∠EDN=60°．
∴△MDN≌△EDN （SAS）
∴NM=NE．
∵NE=NC-CE，CE=BM，
∴MN=NC-BM．