Question

【题目】阅读下列材料： 如图1，圆的概念：在平面内，线段PA绕它固定的一个端点P旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．就是说，到某个定点等于定长的所有点在同一个圆上，圆心在P（a，b），半径为r的圆的方程可以写为：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2 ， 如：圆心在P（2，﹣1），半径为5的圆方程为：（x﹣2）2+（y+1）2=25

（1）填空： ①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为；
②以B（﹣1，﹣2）为圆心， 为半径的圆的方程为 ．
（2）根据以上材料解决下列问题： 如图2，以B（﹣6，0）为圆心的圆与y轴相切于原点，C是⊙B上一点，连接OC，作BD⊥OC垂足为D，延长BD交y轴于点E，已知sin∠AOC= ．

①连接EC，证明EC是⊙B的切线；
②在BE上是否存在一点P，使PB=PC=PE=PO？若存在，求P点坐标，并写出以P为圆心，以PB为半径的⊙P的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3
（2）①证明：∵BD⊥OC，

∴CD=OD，

∴BE垂直平分OC，

∴EO=EC，

∴∠EOC=∠ECO，

∵BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO，

∴∠EOC+∠BOC=∠ECO+∠BCO，

∴∠BOE=∠BCE=90°，

∴BC⊥CE，

∴EC是⊙B的切线；

②存在．

∵∠BOE=∠BCE=90°，

∴点C和点O偶在以BE为直径的圆上，

∴当P点为BE的中点时，满足PB=PC=PE=PO，

∵B点坐标为（﹣6，0），

∴OB=6，

∵∠AOC+∠DOE=90°，∠DOE+∠BEO=90°，

∴∠BEO=∠AOC，

∴sin∠BEO=sin∠AOC= ，

在Rt△BOE中，sin∠BEO= ，

∴ = ，

∴BE=10，

∴OE= =8，

∴E点坐标为（0，8），

∴线段AB的中点P的坐标为（﹣3，4），PB=5，

∴以P（﹣3，4）为圆心，以5为半径的⊙P的方程为（x+3）2+（y﹣4）2=25．

【解析】（1）解：①以A（3，0）为圆心，1为半径的圆的方程为（x﹣3）2+y2=1； ②以B（﹣1，﹣2）为圆心， 为半径的圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=3；
所以答案是（x﹣3）2+y2=1；（x+1）2+（y+2）2=3；
【考点精析】关于本题考查的等腰三角形的性质和勾股定理的概念，需要了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．