Question

【题目】如图，在中，，，点在上，经过点的与相切于点，交于点．

（1）求证：评分；

（2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）连接DE，OD．利用弦切角定理，直径所对的圆周角是直角，等角的余角相等证明∠DAO=∠CAD，进而得出结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAC=45°，由BC相切⊙O于点D，得到∠ODB=90°，求得OD=BD，∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，根据勾股定理得到BD=OD=，于是得到结论．

试题解析：（1）证明：连接DE，OD．

∵BC相切⊙O于点D，∴∠CDA=∠AED，

∵AE为直径，∴∠ADE=90°，

∵AC⊥BC，∴∠ACD=90°，∴∠DAO=∠CAD，∴AD平分∠BAC；

（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，

∵BC相切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴OD=BD，∴∠BOD=45°，

设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，

∴BC=AC=x+1，∵AC2+BC2=AB2，∴2（x+1）2=（x+x）2，∴x=，

∴BD=OD=，

∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE==．