Question

【题目】如图，抛物线y= x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣2x上．

（1）求a的值；
（2）求A，B的坐标；
（3）以AC，CB为一组邻边作ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y= x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上．

∴抛物线y= x2﹣x+a，

= （x2﹣2x）+a，

= （x﹣1）2﹣ +a，

∴顶点坐标为：（1，﹣ +a），

∴y=﹣2x，﹣ +a=﹣2×1，

∴a=﹣

（2）

解：二次函数解析式为：y= x2﹣x﹣ ，

∵抛物线y= x2﹣x﹣ 与x轴交于点A，B，

∴0= x2﹣x﹣ ，

整理得：x2﹣2x﹣3=0，

解得：x=﹣1或3，

A（﹣1，0），B（3，0）

（3）

解：作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，

在△AOC和△BDE中

∵

∴△AOC≌△BED（AAS），

∵AO=1，

∴BE=1，

∵二次函数解析式为：y= x2﹣x﹣ ，

∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣ ），

∴CO= ，∴DE= ，

D点的坐标为：（2， ），

∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣ ），

代入解析式y= x2﹣x﹣ ，

∵左边=﹣ ，右边= ×4﹣2﹣ =﹣ ，

∴D′点在函数图象上．

【解析】（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的图象的相关知识，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点，以及对二次函数的性质的理解，了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．