Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G．

（1）若AB＝2，求四边形ABFG的面积；

（2）求证：BF＝AE+FG．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据菱形的性质和垂线的性质可得∠ABD＝30°，∠DAE＝30°，然后再利用三角函数及勾股定理在Rt△ABF中，求得AF，在Rt△AFG中，求得FG和AG，再运用三角形的面积公式求得四边形ABFG的面积；

（2）设菱形的边长为a，根据（1）中的结论在Rt△ABF、Rt△AFG、Rt△ADE 中分别求得BF、FG、AE，然后即可得到结论.

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，BD平分∠ABC，

又∵AE⊥CD，∠ABC=60°，

∴∠BAE＝∠DEA＝90°，∠ABD＝30°，

∴∠DAE＝30°，

在Rt△ABF中，tan30°＝，即，解得AF＝，

∵FG⊥AD，

∴∠AGF=90°，

在Rt△AFG中，FG＝AF＝，

∴AG=＝1．

所以四边形ABFG的面积=S△ABF+S△AGF＝；

（2）设菱形的边长为a，则在Rt△ABF中，BF＝，AF＝，

在Rt△AFG中，FG＝AF＝，

在Rt△ADE中，AE＝，

∴AE+FG＝，

∴BF＝AE+FG．