Question

【题目】如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB= ，反比例函数y= （k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：过点A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB= ，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A点坐标为（6，8），根据题意得：

8= ，可得：k=48，

∴反比例函数解析式：y= （x＞0）

（2）

解：设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于点N，

由平行四边形性质可证得OH=BN，

∵sin∠AOB= ，

∴AH= a，OH= a，

∴S△AOH= a a= a2，

∵S△AOF=12，

∴S平行四边形AOBC=24，

∵F为BC的中点，

∴S△OBF=6，

∵BF= a，∠FBM=∠AOB，

∴FM= a，BM= a，

∴S△BMF= BMFM= a a= a2，

∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+ a2，

∵点A，F都在y= 的图象上，

∴S△AOH=S△FOM= k，

∴ a2=6+ a2，

∴a= ，

∴OA= ，

∴AH= ，OH=2 ，

∵S平行四边形AOBC=OBAH=24，

∴OB=AC=3 ，

∴ON=OB+OH=5 ，

∴C（5 ， ）

（3）

解：存在三种情况：

当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（ ， ），P2（﹣ ， ），

当∠PAO=90°时，P3（ ， ），

当∠POA=90°时，P4（﹣ ， ）

【解析】（1）先过点A作AH⊥OB，根据sin∠AOB= ，OA=10，求出AH和OH的值，从而得出A点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式；（2）先设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，根据sin∠AOB= ，得出AH= a，OH= a，求出S△AOH的值，根据S△AOF=12，求出平行四边形AOBC的面积，根据F为BC的中点，求出S△OBF=6，
根据BF= a，∠FBM=∠AOB，得出S△BMF= BMFM，S△FOM=6+ a2 ， 再根据点A，F都在y= 的图象上，S△AOH= k，求出a，最后根据S平行四边形AOBC=OBAH，得出OB=AC=3 ，即可求出点C的坐标；（3）分别根据当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，得出P1 ， P2；当∠PAO=90°时，求出P3；当∠POA=90°时，求出P4即可．
【考点精析】关于本题考查的反比例函数的性质，需要了解性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大才能得出正确答案．