Question

【题目】如图，直线BC与半径为6的⊙O相切于点B，点M是圆上的动点，过点M作MC⊥BC，垂足为C，MC与⊙O交于点D，AB为⊙O的直径，连接MA、MB，设MC的长为x，（6＜x＜12）．
（1）当x=9时，求BM的长和△ABM的面积；
（2）是否存在点M，使MDDC=20？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵直线BC与半径为6的⊙O相切于点B，且AB为⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
又∵MC⊥BC，
∴AB∥MC，
∴∠BMC=∠ABM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB=90°，
∴∠BCM=∠AMB=90°，
∴△BCM∽△AMB，
∴，
∴BM2=ABMC=12×9=108，
∴BM=6，
∵BC2+MC2=BM2 ，
∴BC==3
∴S△ABM=ABBC=×12×3=18；
（2）解：过O作OE⊥MC，垂足为E，
∵MD是⊙O的弦，OE⊥MD，
∴ME=ED，
又∵∠CEO=∠ECB=∠OBC=90°，
∴四边形OBCE为矩形，
∴CE=OB=6，
又∵MC=x，
∴ME=ED=MC﹣CE=x﹣6，MD=2（x﹣6），
∴CD=MC﹣MD=x﹣2（x﹣6）=12﹣x，
∴MDDC=2（x﹣6）（12﹣x）=﹣2x2+36x﹣144=﹣2（x﹣9）2+18
∵6＜x＜12，
∴当x=9时，MDDC的值最大，最大值是18，
∴不存在点M，使MDDC=20．

【解析】（1）利用切线的性质以及平行线的性质进而得出∠BMC=∠ABM以及∠BCM=∠AMB=90°，即可得出△BCM∽△AMB，根据相似三角形的性质即可求得BM的长，根据勾股定理求得BC，然后根据三角形面积公式求得△ABM的面积；
（2）首先得出四边形OBCE为矩形，进而得出MDDC=2（x﹣6）（12﹣x），进而求出最值即可判定
【考点精析】解答此题的关键在于理解切线的性质定理的相关知识，掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径，以及对相似三角形的判定与性质的理解，了解相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．