Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是矩形，延长AB至点F，连结CF，使得CF=AF，过点A作AE⊥FC于点E．
（1）求证：AD=AE．
（2）连结CA，若∠DCA=70°，求∠CAE的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，如图所示：

∵CF=AF，∴∠FCA=∠CAF，

∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB∴，∠DCA=∠CAF，

∴∠FCA=∠DCA，

∵AE⊥FC，

∴∠CEA=90°，

∴∠CDA=∠CEA=90°，

在△ADC和△CAE 中， ，

∴△ADC≌△CAE （AAS），

∴AD=AE；

（2）解：∵△ADC≌△CAE，

∴∠CAE=∠CAD，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，

∴∠CAD=90°﹣∠DCA=90°﹣70°=20°，

∴∠CAE=20°．

【解析】（1）由等腰三角形的性质和矩形的性质证出∠FCA=∠DCA，由AAS证明△ADC≌△CAE，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得出∠CAE=∠CAD，求出∠CAD=90°﹣∠DCA=20°，即可得出答案．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)．