Question

【题目】△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB．EF⊥AC

（1）求证：△BDF∽△CEF；

（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系式，并探究当m为何值时S取最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）最大值为3．

【解析】

试题分析：（1）由等边三角形的性质得出∠B=∠C=60°，由已知得出∠BDF=∠CEF=90°，即可证出△BDF∽△CEF；

（2）作AM⊥BC于M，由等边三角形的性质得出AB=BC=4，BM=CM=BC=2，由勾股定理求出AM，得出△ABC的面积；求出∠DFB=∠EFC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BD=BF=m，CE=CF=（4-m），得出DF、EF的长度，求出△BDF和△CEF的面积，由四边形ADFE面积S=△ABC的面积-△BDF的面积-△CEF的面积，得出S与m之间的函数关系式为S=-m2+m+2；化成顶点式，得出当m=2时，S取最大值为3即可．

试题解析：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵DF⊥AB．EF⊥AC，

∴∠BDF=∠CEF=90°，

∴△BDF∽△CEF；

（2）作AM⊥BC于M，如图所示：

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=4，BM=CM=BC=2，

∴AM===2，

∴△ABC的面积=BCAM=×4×2=4，

∵BF=m，

∴CF=4-m，

∵∠BDF=∠CEF=90°，∠B=∠C=60°，

∴∠DFB=∠EFC=30°，

∴BD=BF=m，CE=CF=（4-m），

∴DF=BD=m，EF=CE=（4-m），

∴△BDF的面积=BDDF=×m×m=m2，

△CEF的面积=CEEF=×（4-m）×（4-m）=（4-m）2，

∴四边形ADFE面积S=△ABC的面积-△BDF的面积-△CEF的面积=4-m2-（4-m）2=-m2+m+2，

即S与m之间的函数关系式为S=-m2+m+2；

又∵S=-m2+m+2=-（m-2）2+3，-＜0，

∴当m=2时，S取最大值为3．