Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（m+1，0）、B（0，m）（m＞0），以AB为直径画圆⊙P，点C为⊙P上一动点，

（1）判断坐标原点O是否在⊙P上，并说明理由；

（2）若点C在第一象限，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接BC、AC，且∠BCD=∠BAC，

①求证：CD与⊙P相切；

②当m=3时，求线段BC的长；

（3）若点C是的中点，试问随着m的变化点C的坐标是否发生变化，若不变，求出点C的坐标；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）在，理由见解析；（2）①证明见解析，②BC= ；（3）不变，C

【解析】试题分析：（1）点P在⊙P上．连接OP．证明OP=PA，则可得到结论；

（2）①连接PC．证明∠BCD+∠PCB=90°即可得到结论；

②延长CP交OA于M．当m=3时，得到OB=3，OA=4， AB=5．再证明四边形DOMC是矩形，得到CM=DO，由三角形中位线定理得到PM=1.5，从而得到CM=4，进而得到BD=1． 再由sin∠BCD=sin∠BAC，可得到BC的长．

（3）过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N，可证明△BNC≌△AMC，设CM=a，则有ON=OM=a，故m+a=m+1-a，解出a的值即可．

试题解析：解：（1）点P在⊙P上．理由如下；

连接OP．∵BA为⊙P的直径，∴BP=PA，∵∠AOB=90°，∴OP=AB=PA，∴点O在⊙P上；

（2）①连接PC．∵PC=PA，∴∠PCA=∠PAC，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠PCA．∵AB为直径，∴∠BCA=90°，∴∠BCP+∠ACP=90°，∴∠BCD+∠PCB=90°，∴CD与⊙P相切；

②延长CP交OA于M．当m=3时，OB=3，OA=4，∴AB=5．∵∠PCD=∠CDO=∠DOA=90°，∴四边形DOMC是矩形，∴CM=DO，PM⊥OA，∴OM=MA，∵AP=BP，∴PM=BO=1.5，∵PC=2.5，∴CM=1.5+2.5=4，∴OD=4，∴BD=4-3=1． ∵∠BCD=∠BAC，∴sin∠BCD=sin∠BAC，∴，∴，∴ ，∴BC=.

（3）过点C作CM⊥x轴于点M，CN⊥y轴于点N，∵弧CB=弧AC，∴BC=AC，在△BNC和△AMC中，∵∠CBN=∠MAC，∠AMC=∠BNC，BC=AC，∴△BNC≌△AMC，∴BN=AM ，CM=CN，设CM=a，∵四边形ONCM为正方形，∴ON=OM=a，∴m+a=m+1-a，解得a=，所以C（， ）．∴C的坐标不变，为C（， ）．