Question

【题目】如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点D，BF⊥AE，交AC的延长线于点F，且垂足为E，则下列结论①AD＝BF；②BF＝AF；③AC+CD＝AB；④AB＝BF：⑤AD＝2BE．其中正确的结论有（　　）个

A. 5B. 4C. 3D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据∠ACB=90°，BF⊥AE，得出∠ACB=∠BED=∠BCF=90°，推出∠F=∠ADC，证△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可判断①②；假如AC+CD=AB，求出∠F+∠FBC=90°，即可判断③④，证根据全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，推出BE=EF，即可判断⑤．

解：∵∠ACB＝90°，BF⊥AE，

∴∠ACB＝∠BED＝∠BCF＝90°，

∴∠F+∠FBC＝90°，∠BDE+∠FBC＝90°，

∴∠F＝∠BDE，

∵∠BDE＝∠ADC，

∴∠F＝∠ADC，

∵AC＝BC，

∴△BCF≌△ACD，

∴AD＝BF，∴①正确；

∵AF＞AD，

∴BF≠AF②错误；

∵△BCF≌△ACD，

∴CD＝CF，

∴AC+CD＝AF，

∵△BCF≌△ACD，

∴CD＝CF，

∴AC+CD＝AF，

又∵AB＝AF，

∴AC+CD＝AB．

∴③正确；

∵BF＝AC，AC＜AF＝AB，

∴AB＞BF，

∴④错误；

由△BCF≌△ACD，

∴AD＝BF，

∵AE平分∠BAF，AE⊥BF，

∴∠BEA＝∠FEA＝90°，∠BAE＝∠FAE，

∵AE＝AE，∴△BEA≌△FEA，

∴BE＝EF，

∴⑤正确；

综上所述，正确的结论是：①③⑤，共有3个．

故选：C．