Question

【题目】如图，已知抛物线y= x2﹣ （b+1）x+ （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为 ， 点C的坐标为（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（b，0）；（0， ）
（2）

解：存在，

假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．

设点P的坐标为（x，y），连接OP．

则S四边形PCOB=S△PCO+S△POB= x+ by=2b，

∴x+4y=16．

过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，

∴∠PEO=∠EOD=∠ODP=90°．

∴四边形PEOD是矩形．

∴∠EPD=90°．

∴∠EPC=∠DPB．

∴△PEC≌△PDB，∴PE=PD，即x=y．

由 解得

由△PEC≌△PDB得EC=DB，即 ﹣ =b﹣ ，

解得b= ＞2符合题意．

∴P的坐标为（ ， ）

（3）

解：假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

∵∠QAB=∠AOQ+∠AQO，

∴∠QAB＞∠AOQ，∠QAB＞∠AQO．

∴要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴．

∵b＞2，

∴AB＞OA，

∴∠Q0A＞∠ABQ．

∴只能∠AOQ=∠AQB．此时∠OQB=90°，

由QA⊥x轴知QA∥y轴．

∴∠COQ=∠OQA．

∴要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°．

（I）当∠OCQ=90°时，△CQO≌△QOA．

∴AQ=CO= ．

由AQ2=OAAB得：（ ）2=b﹣1．

解得：b=8±4 ．

∵b＞2，

∴b=8+4 ．

∴点Q的坐标是（1，2+ ）．

（II）当∠OQC=90°时，△OCQ∽△QOA，

∴ ，即OQ2=OCAQ．

又OQ2=OAOB，

∴OCAQ=OAOB．即 AQ=1×b．

解得：AQ=4，此时b=17＞2符合题意，

∴点Q的坐标是（1，4）．

∴综上可知，存在点Q（1，2+ ）或Q（1，4），使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似．

【解析】解：（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，
解得：x=1或b，
∵b是实数且b＞2，点A位于点B的左侧，
∴点B的坐标为（b，0），
令x=0，
解得：y= ，
∴点C的坐标为（0， ），
故答案为：（b，0），（0， ）；
（1）令y=0，即y= x2﹣ （b+1）x+ =0，解关于x的一元二次方程即可求出A，B横坐标，令x=0，求出y的值即C的纵坐标；（2）存在，先假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形．设点P的坐标为（x，y），连接OP，过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，利用已知条件证明△PEC≌△PDB，进而求出x和y的值，从而求出P的坐标；（3）存在，假设存在这样的点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似，有条件可知：要使△QOA与△QAB相似，只能∠QAO=∠BAQ=90°，即QA⊥x轴；要使△QOA与△OQC相似，只能∠QCO=90°或∠OQC=90°；再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可．